定义

如果一个数恰好等于它的真因子之和，则称该数为“完全数” [2]。各个小于它的约数（真约数，列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完全数（Perfect number），又称完美数或完备数。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。

python代码

生成10000以内的完全数

for i in range(1, 10000):
    s = 0
    for j in range(1, i):
        if i % j == 0:
            s += j
    if s == i:
        print(i)

6
28
496
8128

梅森素数

古希腊数学家欧几里得在名著《几何原本》中证明了素数有无穷多个，并论述完全数时提出：如果2^P-1是素数(其中指数P也是素数)，则2^(P-1)(2^P-1)是完全数。瑞士数学家和物理学家欧拉证明所有的偶完全数都有这种形式。因此，人们只要找到2^{P-1型素数，就可以发现偶完全数了。数学界将2}P-1型素数称为“梅森素数”(Mersenne prime)，因为法国数学家和法兰西科学院奠基人梅森在这方面的研究成果较为卓著。梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。到2018年为止，人类仅发现51个梅森素数。

def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    if n <= 3:
        return True
    if n % 2 == 0 or n % 3 == 0:
        return False
    i = 5
    while i * i <= n:
        if n % i == 0 or n % (i + 2) == 0:
            return False
        i += 6
    return True

mersenne_primes = []
for p in range(2, 14):  # 2^14 - 1 > 10000, so we stop at 13
    mersenne_candidate = 2**p - 1
    if is_prime(mersenne_candidate):
        mersenne_primes.append(mersenne_candidate)

mersenne_primes

执行上述Python代码后得到的10000以内的梅森素数列表是：

[3,7,31,127,8191]